问题
假设有1000万个整数数据，每个数据占8字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在1000万数据中？（存在多次查找的情况）
前提：该功能不要太占用内存空间，最好不超过100MB
二分查找思想
栗子
生活中的“猜数字大小”游戏，猜的过程中，玩家每猜一次，庄家告诉你是猜大了还是猜小了，直到猜中为止。最快速猜中的方法就是用二分查找的思想。每次说猜测范围的中间数字，如果中间数有两个，则选择较小的那个。按照这个思想，这样即使猜的数字范围在0-999，最多也只要10次就能猜中。
二分查找针对的是一个有序的整数集合，查找思想类似于分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。
时间复杂度
二分查找是一种非常高效的查找算法。
假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。
被查找区间的大小变化：
n, n/2, 2/4, n/8, ... n/2^k
这是一个等比数列，其中 n/2^k=1 时， k 的值就是总共缩小的次数，每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过 k 次区间缩小操作，时间复杂度为 O(k)。通过 n/2^k=1， 可以求得 k = log2^n ，所以时间复杂度就是 O(logn)。
O(logn) 对数时间复杂度
这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。
为什么这么说呢？
因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，n 大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。
在用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。
对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。
反过来，对数相对的就是指数。这也是为什么，指数时间复杂度的算法在大规模数据面前是无效的。
简单二分查找的递归与非递归实现
简单二分查找，是指在不存在重复元素的有序数据中查找值等于给定值的数据。
非递归代码
def binary_search(arr, ele):
lenght = len(arr)
low = 0
high = length -1
while low <= high:
mid = (low + high) // 2 # low + (high-low)>>1
if arr[mid] == ele:
return mid
elif arr[mid] > ele:
high = mid - 1
else:
low = mid + 1
return -1
提示点
1 . 循环退出条件。是 low <= high，而不是 low < high
2 . mid 的取值。实际上，mid=(low+high)//2 这种写法有问题。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)//2。更进一步，可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+(high-low) >>1。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3 . low 和 high 的更新。 low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。
比如，当 high=3，low=3 时，如果 arr[3] 不等于 ele，就会导致一直循环不退出。
递归代码
def binary_search(arr, low, high, ele):
if low > high:
return -1
mid = low + (high-low) // 2
if arr[mid] == ele:
return mid
elif arr[mid] > ele:
return binary_search(arr, low, mid-1, ele)
else:
return binary_search(arr, mid+1, high, ele)
应用场景的局限性
二分查找的时间复杂度是 O(logn)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景有很大局限性。
1 . 二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。 二分查找不能依赖于其他数据结构，比如链表。主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。
2 . 二分查找针对的是有序数据。如果数据没有序，需要先排序。排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，就可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。
针对有频繁插入、删除操作的这种动态数据集合，二分查找是不适用的。要用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都很高。
3 . 数据量太小不适合二分查找。如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。
有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过几百的字符串，如此长的两个字符串之间比大小，就会非常耗时。为了尽可能地减少比较次数，二分查找就比顺序遍历更有优势。
4 . 数据量太大也不适合二分查找。二分查找依赖的是数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较困难，就不能用二分查找了。
解答开篇
如何快速判断某个整数是否出现在在1000万数据中？
内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB ，符合内存的限制。
先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据。
散列表、二叉树这些支持快速查找的动态数据结构也可以解决这类问题。但因为内存的限制，使得这些方法在这里行不通。
虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。但是，不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000万 的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。
Key
1 . 若二分查找依赖于链表结构，时间复杂度如何分析？
假设链表长度为 n，二分查找每次需要找到中间点，那么总共需要移动的指针次数为：
n/2 + n/4 + n/8 + ... + 1
这也是一个等比数列，根据等比数列求和公式 (S = (a1-an*q)/1-q, q为公比, 且不为1)，其和等于 n-1 。所有最后算法时间复杂度为 O(n)。
时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同，但是，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢。
2 . 用二分查找“求一个数的平方根”，要求精确到小数点后6位（类似于LeetCode 69题）
def mySqrt(self, x):
if x==0 or x==1:
return x
low = 0
high = max(x,1.0)
#high = x
mid = (low + high)/2.0
while abs(mid**2 - x) > 1e-6:
if mid**2 > x:
high = mid
else:
low = mid
mid = (low + high)/2.0
return mid